Trong không gian Oxyz phương trình của mặt cầu có tâm I 123 và bán kính R 4 là Mới nhất
Thủ Thuật Hướng dẫn Trong không khí Oxyz phương trình của mặt cầu có tâm I 123 và bán kính R 4 là Mới Nhất
Quý khách đang tìm kiếm từ khóa Trong không khí Oxyz phương trình của mặt cầu có tâm I 123 và bán kính R 4 là được Cập Nhật vào lúc : 2022-04-05 16:03:16 . Với phương châm chia sẻ Bí quyết Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tìm hiểu thêm tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.
Hình Học Tọa Độ OxyzPHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAOA - LÝ THUYẾT CHUNG1. Định nghĩa mặt cầuTập hợp những điểm trong không khí cách điểm O cố định và thắt chặt một khoảng chừng cách R cho trước là mặt cầutâm O và bán kính R. Kí hiệu S ( O; R ) .Trong không khí với hệ trục Oxyz :- Mặt cầu ( S ) tâm I ( a, b, c ) bán kính R có phương trình là: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .222- Phương trình: x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 là phương trình mặt cầutâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .2. Vị trí tương đối của mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) d ( I , ( P ) ) > R khi và chỉ khi ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) . d ( I , ( P ) ) = R khi và chỉ khi( P)Itiếp xúc mặt cầu ( S ) .R d ( I , ( P ) ) < R khi và chỉ khi ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theoHgiao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng ( P ) có tâmPH và có bán kính r = R 2 − d 2 .3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳnga) Cho mặt cầu S ( O; R ) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của O lên ∆ và d = OH là khoảngcách từ O đến ∆AHOOOHBH Nếu d < R thì ∆ cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1) Nếu d = R thì ∆ cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2) Nếu d > R thì ∆ khơng cắt mặt cầu (H.3.3)119 Hình Học Tọa Độ OxyzB - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUDạng 1.Biết trước tâm I ( a; b; c ) và bán kính R : Phương trìnhS ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R22Dạng 2.2Tâm I và trải qua điểm A :•Bán kính R = IA•Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .2Dạng 3.22Mặt cầu đường giao thông vận tải lối đi bộ kính ABx A + xB; yI =y A + yB; zI =•Tâm I là trung điểm AB : x I =•Bán kính R = IA =•Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .22222Mặt cầu tâm I ( a; b; c ) tiếp xúc mặt phẳng (α ) :Aa + Bb + Cc + D•Bán kính R = d ( I ; α ) =•Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .A2 + B 2 + C 22Dạng 5.z A + zBAB22Dạng 4.22Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (trải qua 4 điểm A, B, C , D )•Giả sử mặt cầu ( S ) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( 2 )•Thế tọa độ của điểm A, B, C , D vào phương trình (2) ta được 4 phương trình•Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d•Viết phương trình mặt cầu.Dạng 6.Mặt cầu trải qua A, B, C và tâm I ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 :•Giả sử mặt cầu ( S ) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( 2 )•Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2) ta được 3 phương trình•I ( a; b; c ) ∈ (α ) ⇒ Aa + Bb + Cc + D = 0•Giải hệ 4 phương trình tìm a, b, c, d•Viết phương trình mặt cầu.Dạng 7.Mặt cầu ( S ) trải qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng dCách 1:1202 Hình Học Tọa Độ Oxyz•Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t )•Ta có A, B ∈ ( S ) ⇔ IA = IB = R ⇔ IA2 = IB 2 . Giải pt tìm ra t ⇒ tọa độ I , tính được R .Cách 2:•Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( P ) của đoạn thẳng AB .•Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I)•Bán kính R = IA . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm.(Chú ý: Nếu d ⊂ ( P ) hoặc d / / ( P ) thì khơng sử dụng được cách 2 này)Dạng 8.Mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu ( T ) cho trước:•Xác định tâm J và bán kính R ' của mặt cầu ( T )•Sử dụng Đk tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu ( S ) .(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)Dạng 9.Mặt cầu ( S ' ) đối xứng Mặt cầu ( S ) qua mặt phẳng ( P )•Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp ( P )•Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’ = R .Dạng 10. Mặt cầu ( S ') đối xứng mặt cầu ( S ) qua đường thẳng d•Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp d (xem cách làm ở phần đường thẳng)•Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’ = R .C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM121 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 1:Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) và C ( 3; −2;1). Mặt cầu ( S ) tâm I trải qua A, B, C và độ dài OI = 5 (biết tâm I có hồnh độ ngun, O làgốc tọa độ). Bán kính mặt cầu ( S ) làB. R = 3A. R = 1Câu 2:C. R = 4D. R = 5Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;0;0 ) , B ( 2; −1; 2 ) , C ( −1;1; −3) . Viết phươngtrình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy , trải qua A và cắt mặt phẳng ( ABC ) theo một đườngtròn có bán kính nhỏ nhất.215B. x 2 + y + + z 2 = .242235D. x 2 + y − + z 2 =2415A. x 2 + y − + z 2 = .24219C. x 2 + y − + z 2 = .24Câu 3:Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;3) và tiếpxúc với đường thẳngA. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =233.9B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =243.9C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)2 =2223.9D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =333922Câu 4:x y+2 z== .1−22222222Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trìnhx2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 6 z − 12 = 0 và đường thẳng d : x = 5 + 2t ; y = 4; z = 7 + t. Viếtphương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) tại điểm M ( 5; 0;1) biết đường thẳng ∆1tạo với đường thẳng d một góc ϕ thỏa mãn nhu cầu cosϕ =.7Câu 5: x = 5 + 3t x = 5 + 13tA. ∆ : y = −5t ∨ ∆ : y = 5t.z = 1− t z = 1 − 11t x = 5 + 3t x = 5 + 13tB. ∆ : y = −5t ∨ ∆ : y = 5t.z = 1− t z = 1 + 11t x = 5 + 3t x = 5 + 13tC. ∆ : y = 5t ∨ ∆ : y = 5t.z = 1− t z = 1 − 11t x = 5 + 3t x = 5 + 13tD. ∆ : y = −5t ∨ ∆ : y = 5tz = 1− t z = 1 − 21tx −1 y + 2 z== . Tìm tọa độ12−2điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu ( S ) tâm M tiếp xúc với trục Oz có bánkính bằng 2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :6 8 2A. M ( 2;0; −2 ) ∨ M ; − ; .5 5 51226 8 2B. M ( 2;0; 2 ) ∨ M ; ; .5 5 5 Hình Học Tọa Độ Oxyz7 8 4C. M ( 2;0; −2 ) ∨ M ; − ; .5 5 5Câu 6:6 8 2D. M ( 4;0; −2 ) ∨ M ; − ; 5 5 5Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho hai tuyến phố thẳng ∆1 , ∆ 2 có phương trình:x − 2 y −1 z −1x + 2 y − 3 z +1∆1 :==; ∆2 :==. Viết phương trình mặt cầu có bán kính14211−1nhỏ nhất và tiếp xúc với hai tuyến phố thẳng ∆1 , ∆ 2 ?A. x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 6 .B. x 2 + ( y − 2 ) − z 2 = 6 .C. x 2 − ( y − 2 ) + z 2 = 6 .D. x 2 + ( y + 2 ) + z 2 = 6222Câu 7:2Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0.Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường trịn cóbán kính bằng 3.A. ( P ) : y − 2 z = 0 .Câu 8:B. ( P ) : x − 2 z = 0 .C. ( P ) : y + 2 z = 0 .D. ( P ) : x + 2 z = 0x −1 y −1 z==và cắt mặt21−1phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 6 = 0 tại điểm M . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộcTrong không khí với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A, biết diện tích s quy hoạnh tam giác IAMbằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm.A. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6 .B. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 36 .C. ( S ) : ( x + 1) − y 2 − ( z − 1) = 6 .D. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6222Câu 9:22222Trong không khí tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trải qua ba điểmA (1; −1; 2 ) , B ( 2;1; −1)C ( −1; 2; −3) biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Oxz.2212 4 1327B. ( S ) : x + − y 2 − z + =.11 11 1212212 4 1329D. ( S ) : x − − y 2 − z − =11 121 11 12 4 1326A. ( S ) : x + + y 2 + z − =.11 121 11 12 4 1328C. ( S ) : x − + y 2 + z − =.11 121 11 2222Câu 10: Trong không khí Oxyz cho 3 điểm A ( −13; −1;0 ) , B ( 2;1; −2 ) , C (1; 2; 2 ) và mặt cầu( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) trải qua qua A,tuy nhiên tuy nhiên với BC và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . ( S ) có tâm I (1; 2;3) và có bán kính R = 9.A. ( P ) : −2 x + 2 y − z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z − 100 = 0 .B. ( P ) : −2 x + 2 y + z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .C. ( P ) : −2 x + 2 y − z − 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .123 Hình Học Tọa Độ OxyzD. ( P ) : −2 x + 2 y − 2 z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z − 1000 = 0( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 2 z − 3 = 0, mặt phẳngCâu 11: Trong không khí Oxyz , cho mặt cầu( P ) : x − y + z + 1 = 0 và hai điểm A ( −1;1;0 ) , B ( 2; 2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (α )( P ) và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường trònsong tuy nhiên với AB, vng góc với mặt phẳng( C ) có bán kính bằng3.A. (α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − y − 2 z − 11 = 0 .B. (α ) : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − y − 2 z − 11 = 0 .C. (α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp(α ) : x − 5 y − 2 z − 11 = 0 .D. (α ) : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − 5 y − 2 z − 11 = 0Câu 12: Trong không khí Oxyz, cho hai điểm A ( 2;0; 0 ) , B ( 0; 2;0 ) . Điểm C thuộc trục Ox saocho tam giác ABC là tam giác đều, viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm O tiếp xúc với bacạnh của tam giác ABC.A. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .B. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = −2 .C. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .D. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = − 2x − 2 y −1 z −1==và mặt cầu−1−21222( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 25. Viết phương trình đường thẳng ∆ trải qua điểmCâu 13: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :M ( −1; −1; −2 ) , cắt đường thẳng d và mặt cầu ( S ) tại hai điểm A, B sao cho AB = 8. x = −1 + 6tA. ∆ : y = −1 + 2t . z = −2 + 9t x = −1 − 6tB. ∆ : y = −1 − 2t . z = −2 + 9t x = −1 + 6tC. ∆ : y = 1 + 2t . z = 2 − 9t x = −2 + 6tD. ∆ : y = −3 + 2t z = −2 + 9tCâu 14: Trong không khí Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng( Q. ) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0 tại124M (1; −1; −1) và tiếp xúc mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 8 = 0( c ) : ( x − 3)2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9A. .( c ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3)2 = 9( c ) : ( x + 3)2 + y 2 + ( z + 1) 2 = 9B. .( c ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3)2 = 9( c ) : ( x − 3)2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9C. .( c ) : ( x − 1)2 + ( y − 2 )2 + ( z − 3) 2 = 9( c ) : ( x − 3) 2 + y 2 + ( z − 1)2 = 81D. ( c ) : ( x + 1)2 + ( y + 2 )2 + ( z + 3) 2 = 81 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 15: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:x = tx − 2 y + 1 z −1∆1 :==, ∆ 2 : y = 2 − t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 012−3 z = 1 + 2tViết phương trình mặt phẳng (α ) tuy nhiên tuy nhiên với hai tuyến phố thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu (S)theo giao tuyến là đường trịn (C) có chu vi bằng2 365π.5A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0B. x − 5 y − 3z + 10 = 0C. x − 5 y − 3 z + 3 + 511 = 0; x − 5 y − 3 z + 3 − 511 = 0D. x − 5 y − 3z − 4 = 0Câu 16: Trong không khí Oxyz, cho điểm A (1, 0, −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 . Mặt cầu Scó tâm I nằm trên mặt phẳng ( P ) , trải qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giácOIA bằng 6 + 2 . Phương trình mặt cầu S là:A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9.222222B. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 2 ) = 9222222C. ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9222222D. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9222222x −1 y − 6 z== . Phương trình mặt cầu có tâm I và2−13cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích s quy hoạnh tam giác IAB bằng 2 6015là:Câu 17: Cho điểm I (1;7;5 ) và đường thẳng d :A. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2022.B. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2022.C. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2022.D. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2022.222222222222 x = −1 + tCâu 18: Cho điểm I (0;0;3) và đường thẳng d : y = 2t . Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắtz = 2 + tđường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:12532A. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .282B. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .322C. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .342D. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .3 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 19: Cho điểm A ( 2;5;1) và mặt phẳng ( P ) : 6 x + 3 y − 2 z + 24 = 0 , H là hình chiếu vng góc củaA trên mặt phẳng ( P ) . Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích s quy hoạnh 784π và tiếp xúc với mặtphẳng ( P ) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:A. ( x − 8 ) + ( y − 8 ) + ( z + 1) = 196.B. ( x + 8 ) + ( y + 8 ) + ( z − 1) = 196.C. ( x + 16 ) + ( y + 4 ) + ( z − 7 ) = 196.D. ( x − 16 ) + ( y − 4 ) + ( z + 7 ) = 196.222Câu 20: Cho mặt phẳng222( P ) : x − 2 y − 2 z + 10 = 0222222và hai tuyến phố thẳng ∆1 :x − 2 y z −1,= =11−1x−2 y z +3. Mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ∆1 , tiếp xúc với ∆ 2 và mặt phẳng ( P ) ,= =114có phương trình:∆2 :22222211 7 5 81A. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 9 hoặc x − + y − + z + = .2 2 2411 7 5 81B. ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 2) 2 = 9 hoặc x + + y + + z − = .2 2 + y −x + x + 1 − 3x + x2 2 2 2 33≥ a −2 22 1 1 2x + + x + a 1 − 3 x + x 2 = a ( 1 − x + x 2 + 1 − 3 x + x 2 ) . 2 2 222 3 1 2 1 3= a x − + − x + ≥ a + 2 2 2 2 16622 3 1 13− + + = a 2 .2222 Hình Học Tọa Độ OxyzDấu bằng xẩy ra khi: x =3x2 , x = 3 − 1 ⇔ x = y = 3 − 1 ⇒ V1 =V23−y2y−()23 −1 = 4 − 2 3 .Câu 50: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 8 và điểm1 3 M ;;0 . Xét đường thẳng ∆ thay đổi qua M , cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B .2 2 Hỏi diện tích s quy hoạnh lớn số 1 của tam giác OAB là?A. 4 .B.7.D. 8 .C. 2 7 .Hướng dẫn giải:Chọn A111Ta có: S ∆OAB = .OA.OB.sin AOB ≤ .OA.OB ⇔ S ∆OAB ≤ . 2 2222()2= 4.Diện tích tam giác OAB lớn số 1 là 4 khi sin AOB = 1 ⇔ AOB = 90° .Câu 51: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểmA ( m;0;0 ) B ( 0; n;0 ) C ( 0;0; −2 ),,vàD ( m; n; −2 ), với m , n là những số thực thay đổi thỏa mãn nhu cầu 2m + n = 1 . Hỏi bán kính mặt cầungoại tiếp tứ diện ABCD có mức giá trị nhỏ nhất là?A.105.10B.17.4C.21.5Hướng dẫn giải:Chọn AGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b2 + c 2 − d > 0) .Vì A, B, C , D thuộc mặt cầu nên:m 2 + 2ma + n 2 + 2bn + 4 − 4c + d = 0mét vuông + 2ma + n 2 + 2bn = 0 2 22m + 2ma + d = 0m + 2ma + n + 2bn + 2d = 0⇔4 − 4c + d = 04 − 4c + d = 0n 2 + 2bn + d = 0n2 + 2bn + d = 0ma = − 2mét vuông + 2am = 0 2nn + 2bn = 0⇔⇔ b = − .2 4 − 4c = 0d = 0c = 1d = 0167D.17.2 Hình Học Tọa Độ OxyzBán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:R = a 2 + b2 + c 2 − d =11m2 + n2 + 1 12m2 + n2 + 4 =m 2 + (1 − 2m ) + 4 ==5m 2 − 4 m + 5422222 21 21105Ta có: 5m 2 − 4m + 5 = 5 n − + ≥.⇒ Rmin =55510Câu 52: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( m;0; 0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0; n ) vớim, n là những số thực thỏa mãn nhu cầu m.n = 2 . Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC cóbán kính nhỏ nhất là?A.2.B.5.2C.3.2D.2.2Hướng dẫn giải:Chọn BGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b2 + c 2 − d > 0) .md = 0a = − 2 2nm + 2ma = 0⇔ c = − .Vì O, A, B, C thuộc mặt cầu nên: 21 + 2b = 01n 2 + 2cn = 0b = − 2Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:R = a 2 + b2 + c 2 − d =Ta có: n 2 +mét vuông + n2 + 1 11 2 4m2 + n2 + 1 =n + 2 +1=n422445+ 1 ≥ 2 n 2 . 2 + 1 = 5 ⇒ Rmin =.2nn2Câu 53: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( m;0;0 ) , B ( 0; n; 0 ) , C ( 0;0;1) vàD ( m; n;1) với m , n là những số thực thỏa mãn nhu cầu m.n = 2 . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABCcó bán kính nhỏ nhất là?A.2.B.6.2C.3.2Hướng dẫn giải:Chọn DGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b2 + c 2 − d > 0 ) .168D.5.2 Hình Học Tọa Độ OxyzVì A, B, C , D thuộc mặt cầu nên:mét vuông + 2ma + d = 0m 2 + n 2 + 2ma + 2bn + 2d = 0 2n + 2nb + d = 01 + 2c + d = 0⇔ 21 + 2c + d = 0m + 2ma + d = 022m + n + 2ma + 2bn + 1 + 2c + d = 0 m 2 + n 2 + 2ma + 2bn = 0ma=−2 m 2 + 2ma = 0 2b = − n n + 2bn = 0⇔⇔2 .+=c1201c = −d = 02 d = 0Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:2R = a2 + b2 + c2 − d =Ta có: n 2 +1 2 21 2 4m2 + n2 + 1 1m2 + n2 + 1 =n + +1 =n + 2 +1=4222nn445+ 1 ≥ 2 n 2 . 2 + 1 = 5 ⇒ Rmin =.2nn2Câu 54: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( m;0; 0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0; n ) vớim, n là những só thực thỏa mãn nhu cầu m + 2n = 2 . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kínhnhỏ nhất là?A.B.2.5.2C.3 5.10D.3 5.2Hướng dẫn giải:Chọn CGọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b2 + c 2 − d > 0) .md = 0a = − 2 2nm + 2ma = 0 ⇔ c = − .Vì O, A, B, C thuộc mặt cầu nên: 21 + 2b = 021n + 2cn = 0b = − 2Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:R = a2 + b2 + c2 − d =mét vuông + n2 + 1 11 212m2 + n2 + 1 =n + ( 2 − 2n ) + 1 ==5n 2 − 8n + 5422224 9 93 5Ta có: 5n − 8n + 4 = 5 n − + ≥ ⇒ Rmin =.5 5 5102169 Hình Học Tọa Độ OxyzCâu 55: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (10; 2;1) , B ( 3;1; 4 ) và mặt cầu( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 1)= 9 . Điểm M di động trên mặt cầu ( S ) . Hỏi giá trị nhỏnhất của biểu thức MA + 3MB là?2A. 3 14 .22B. 9 .D. 6 3 .C. 3 11 .Hướng dẫn giải:Chọn BGọi E là yếu tố thỏa mãn nhu cầu: OE = 3OB ⇒ E ()Gọi O là trung điểm của AB , ta có SO ⊥ ( ABC ) . SC ⊥ AHTa lại sở hữu: ⇒ SC ⊥ ( AHB ) ⇒ SC ⊥ OH . SC ⊥ ABVì vậyV1 SH SO 2SO 216==== ⇒ SO = 2 .23V SC SC19SO 2 +4Câu 56: Trong không khí với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 và tọa độ haiđiểm A (1;1;1) , B ( −3; −3; −3) . Mặt cầu ( S ) trải qua hai điểm A, B và tiếp xúc với ( P ) tạiđiểm C . Biết rằng C luôn thuộc một đường trịn cố định và thắt chặt. Tính bán kính của đường trịn đó?A. R = 4B. R =2 333C. R =2 113D. R = 6Hướng dẫn giải:Ta thuận tiện và đơn thuần và giản dị tìm kiếm được tọa độ điểm D ( 3;3;3) là giaoBđiểm của ( AB ) và ( P ) . Do đó theo tính chất củaAphương tích ta được: DA.DB = DI 2 − R 2 . Mặt khác vìDC là tiếp tuyến của mặt cầu ( S ) cho nênDC 2 = DI 2 − R 2 .Do vậy DC 2 = DA.DB = 36 cho nên vì thế DC = 6 (Là mộtPDICgiá trị khơng đổi).Vậy C ln thuộc một đường trịn cố định và thắt chặt tâm D với bán kính R = 6 .Chọn D.Câu 57: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 . Có toàn bộ baonhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng ( P ) và tiếp xúc với ba trục tọa độx ' Ox, y ' Oy , z ' Oz ?A. 8 mặt cầuB. 4 mặt cầuC. 3 mặt cầuD. 1 mặt cầuHướng dẫn giải:Gọi tâm I ( a, b, c ) , ta có a + 2b + c = 4 . Vì d ( I , Ox ) = d ( I , Oy ) = d ( I , Oz )⇒ a 2 + b2 = b2 + c 2 = c 2 + a 2 ⇔ a = b = c ếu a = m, b = m, c = − m ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2 ⇒ I ( 2; 2; −2 )170 Hình Học Tọa Độ Oxyz ếu a = m, b = m, c = m ⇒ m = 1 ⇒ I (1;1;1) ếu a = m, b = − m, c = m ⇒ 0 = 4 (Loại) ếu a = − m, b = m, c = m ⇒ 2m = 4 ⇒ I ( −2; 2; 2 )Vậy có toàn bộ 3 mặt cầu thỏa mãn nhu cầu Đk của bài tốn đưa ra.Câu 58: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m 2 + 1) y + ( m 2 − 1) z − 10 = 0 vàđiểm A ( 2;11; −5 ) . Biết khi m thay đổi tồn tại hai mặt cầu cố định và thắt chặt tiếp xúc với mặt phẳng( P)và trải qua A . Tìm tổng bán kính hai mặt cầu đó.A. 7 2B. 15 2C. 5 2Hướng dẫn giải:Gọi tâm I ( a, b, c ) khi đó bán kính mặt cầu: R = IA = d I , ( P )(⇔R=( a − 2 ) + ( b − 11) + ( c + 5)2⇔R=( a − 2 ) + ( b − 11) + ( c + 5)22222==D. 12 2)2ma + ( m 2 + 1) b + ( m 2 − 1) c − 10(mét vuông+ 1) 2m 2 ( b + c ) + 2ma + b − c − 10(mét vuông+ 1) 2đúng với ∀m ∈ R .a = 0a = 0nên⇔b + c = b − c − 10c = −5Do vậy R = 4 + ( b − 11) =2b = 9⇒⇒ R1 + R2 = 12 2 .2b = 25b−5Câu 59: Trong không khí hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình những mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0và ( Q. ) : 2 x + y + z − 1 = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời cắt mặt phẳng( P)theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 2 và cắt mặt phẳng ( Q. ) theo giaotuyến là một đường trịn có bán kính bằng r . Xác định r sao cho chỉ tồn tại duy nhất mộtmặt cầu thỏa mãn nhu cầu Đk đã cho.102A. r =B. r =3 22C. r = 3D. r =142Hướng dẫn giải:(Ta gọi I ( a; 0;0 ) là tâm mặt cầu. Khi đó bán kính: R 2 = r 2 + d I , ( Q. )⇔r2( 2a − 1)+26( a + 1)= 4+6)2= 22 + d ( I , ( P ) )22do đó để sở hữu duy nhất 1 tâm mặt cầu thỏa mãn nhu cầu thì giải ∆ = 0 .Chọn B.Câu 60: Trong không khí với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 vàđiểm A ( 2; 2;0 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết rằng điểm B thuộc mặt cầu ( S ), có hồnh độ dương và tam giác OAB đều.A. x − y − 2 z = 0Hướng dẫn giải:171B. x − y − z = 0C. x − y + z = 0D. x − y + 2 z = 0 Hình Học Tọa Độ OxyzTa có OA = 2 2 do đó điểm B nằm trên những mặt cầu tâm O và tâm A có cùng bán kính 2 2nên tọa độ B là nghiệm của hệ: x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 x2 + y 2 + z 2 = 8 222⇔ x + y + z = 0 ⇔ B ( 2;0; −2 ) .x + y + z = 8222x + y = 2( x − 2 ) + ( y − 2 ) + z = 8Câu 61: Trong không khí với hệ trục tọa độ Oxyzcho A (1, 0,1) , B ( −3, 4, −1) , C ( 2, 2,3) .Đường thẳng d trải qua A , cắt những mặt cầuđường kính AB và AC lần lượt tại những điểmM , N khơng trùng với A sao cho đường gấpkhúc BMNC có độ dài lớn số 1 có vector chỉphương là?A. u = (1, 0, 2 )B. u = (1, 0,1)C. u = (1, 0, −1)D. u = ( 2, 0, −1)Hướng dẫn giải:Ta phát hiện được tam giác ABC vuông tại A mặtkhác: MA + MB ≤ 2 ( MA2 + MB 2 ) = AB 2⇒ BM + MN + NC ≤ ( AB + AC ) 2 NA + NB ≤ 2 ( NA2 + NB 2 ) = AC 2Chú ý rằng đẳng thức xẩy ra được chính bới trong trường hợp những tam giác MAB, NAC vuông cân vàtam giác ABC vng thì A, M , N vẫn thẳng hàng cho nên vì thế đường thẳng d khi đó có u = (1, 0,1). (Học sinh cần tự tìm những tọa độ của M , N sao cho những tam giác MAB, NAC vuông cân tại M , Nvà nằm trong mặt phẳng ( ABC ) ).Chọn B.Câu 62: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng( P ) : 2n (1 − m 2 ) x + 4mny + (1 + m 2 )(1 − n 2 ) z + 4 ( m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1) = 0 với m, n là những sốthực tùy ý. Biết rằng mặt phẳng ( P ) luôn tiếp xúc với một mặt phẳng cố định và thắt chặt. Tìm bán kínhcủa mặt cầu đó.A. 2.Hướng dẫn giải:B. 1.C. 4.D.2.Chọn CGọi I ( x0 ; y0 ; z0 ) là tâm mặt cầu và R là bán kính, ta có:R = d ( I , ( P )) =1722n (1 − m 2 ) x0 + 4mny0 + (1 + m 2 )(1 − n 2 ) z0 + 4 ( m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1) 2n (1 − m 2 ) + ( 4mn )2 + (1 + m 2 )(1 − n 2 ) 22 Hình Học Tọa Độ Oxyz==2n (1 − m 2 ) x0 + 4mny0 + (1 + m 2 )(1 − n 2 ) z0 + 4 ( m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1)(mét vuông+ 1) + ( n 2 + 1)222n (1 − m 2 ) x0 + 4mny0 + (1 + m 2 )(1 − n 2 ) z0 + 4 ( m 2 n 2 + m 2 + n 2 + 1)m 2 + n 2 + mét vuông n 2 + 1.Chọn x0 = y0 = z0 ⇒ R = 4.Vậy ( P ) luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định và thắt chặt I ( 0;0;0 ) và R = 4.Chọn C.Câu 63: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0; ( Q. ) : 2 x + y + z − 1 = 0. Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục Ox ,( S ) cắt ( P ) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 2; ( S ) cắt ( Q. )đồng thờitheo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng r. Tìm r sao cho chỉ có duy nhất một( S ) thỏa mãn nhu cầu Đk bài toán.mặt cầu10.2Hướng dẫn giải:A. r =B. r =3 2.2C. r = 3.D. r =5.2Chọn BGọi I ( m;0;0 ) thuộc trục Ox là tâm của ( S ) và R là bán kính của ( S ) . Theo giả thiết, ta có:d 2 ( I , ( P ) ) + 22 = R 2⇒ r 2 + d 2 ( I , (Q. )) = 4 + d 2 ( I , ( P )). 222+=dI,QrR ( ( ) )Vậy ta có phương trình: r 2 +( 2m − 1)62= 4+( m + 1)62⇔ 3m 2 − 6m + 6r 2 − 24 = 0.Để có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn nhu cầu thì phương trình trên có nghiệm duy nhất, do đó:∆′m = 9 − 3 ( 6r 2 − 24 ) = 0 ⇔ r =3 2.2Câu 64: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A, B, C lần lượt là giao điểmxyzcủa mặt phẳng ( P ) : ++= 1 với những trục tọa độ Ox, Oy , Oz; trong đóm m −1 m + 4m ∉ 0;1; −4 là tham số thực thay đổi. Điểm O , D nằm khác phía với mặt phẳng ( P ) vàBC = AD, CA = BD, AB = CD. Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ nhấtlà?173 Hình Học Tọa Độ Oxyz7.2Hướng dẫn giải:A.B.14.2C.7.D. 14.Chọn BTheo giả thiết, ta có A ( m;0; 0 ) , B ( 0; m − 1;0 ) , C ( 0;0; m + 4 ) và BC , CA, AB, DB, DA, DC lầnlượt là đường chéo những mặt của một hình hộp chữ nhật OAD′C.BA′DC ′ như hình vẽ dưới.Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng đó đó là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật m m −1 m + 4 đã cho. Vì vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp là I ;;.2 2 22223 ( m + 1) + 1414 m m −1 m + 4 . Dấu “=” xẩy ra khi≥Do đó R = IO = + + =222 2 2 m = −1.2Câu 65: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 và mặt cầu( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 2 z + 5 = 0 . Giả sử M ∈ ( P ) và N ∈ ( S ) sao chophương với véc tơ u = (1;0;1) và khoảng chừng cách MN lớn số 1. Tính MN .A. MN = 3 .Hướng dẫn giải:B. MN = 1 + 2 2 .C. MN = 3 2 .Chọn CMặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) , R = 1 .Xét điểm M ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇒ x − 2 y + 2 z − 3 = 0 .Theo giả thiết MN = ku = ( k ;0; k ) ⇒ N ( x + k ; y; z + k ) và N ∈ ( S ) nên(x+ k)2+ y2 + ( z + k ) + 2 ( x + k ) − 4 y − 2 ( z + k ) + 5 = 02⇔ ( x + k + 1) + ( y − 2 ) + ( z + k − 1) = 1 .217422MN cùngD. MN = 14 . Hình Học Tọa Độ OxyzDo x − 2 y + 2 z − 3 = 0 ⇔ ( x + k + 1) − 2 ( y − 2 ) + 2 ( z + k − 1) = 3k + 6 .Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwar, ta có:( 3k + 6 )()2222≤ 12 + ( −2 ) + 22 . ( x + k + 1) + ( y − 2 ) + ( z + k − 1) = 9 ⇔ −3 ≤ k ≤ −1⇒ MN = k . 2 ≤ 3 2 .Chọn C.Dấu bằng xẩy ra khi k = −3 .Cách 2: Gọi H là hình chiếu vng góc của N lên ( P ) , ta có:MN =2NHcos MNH=NH(cos u , nP)≤r + d ( I ; ( P ))(cos u , nP)=1+ 2=3 2.12Câu 66: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với3 10ngoại tiếp tứ diện OABC . Khi2tổng OA + OB + OC nhỏ nhất thì mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng nào dưới đây?a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và mặt cầu ( S ) có bán kính bằngA. 2 x + 2 y − 2 z + 6 + 3 2 = 0 .B.C. 2 x + 2 y − 2 z + 7 − 2 2 = 0 .D.Hướng dẫn giải:Chọn Da b zTâm mặt cầu ( S ) là yếu tố I ; ; và bán kính2 2 2222x + 2 y − 2z + 3 + 2 2 = 0 .2x + 2 y + 2z + 3 − 2 2 = 0 .23 10a b c⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 90 .R = + + =2222 Khi đó: OA + OB + OC = a + b + c = a 2 + b 2 + 2ab + c= 90 − c 2 + 2ab + c ≥ 90 − c 2 + 2.4.5 + c= 130 − c 2 + c ≥ min y = y ( 7 ) = 16 .[0; +∞ )3 10 5 7.Khi đó I 2; ; và rõ rang d ( I , ( P ) ) : 2 x + 2 y + 2 z + 3 − 2 2 = 0 =2 2 2Câu 67: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 4 và222mặt phẳng ( P ) : 2 + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Gọi ( Q. ) là mặt phẳng thay đổi qua A ( −2;1;1) và tiếpxúc với mặt cầu ( S ) . Hỏi góc nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng ( P ) , ( Q. ) là?2 10 − 210 − 12 10 + 2.B. arccos.C. arccos.999Hướng dẫn giải:Chọn CTa có ( Q. ) : a ( x + 2 ) + b ( y − 1) + c ( z − 1) = 0 theo giả thiết, ta cóA. arccos175D. arccos10 + 1.9 Hình Học Tọa Độ Oxyzd ( I , (Q. )) = 2 ⇔3a22= 2 ⇔ b2 + c 2 =2a +b +cKhi đó góc giữa ( P ) , ( Q. ) xác lập bởi5 2a .4a + 2b + 2ccos α =12 + 22 + 2 2 . a 2 + b 2 + c 225 2 + 2 10b+c 2.= 1+ 2= ≤ 1 + 292 9 a 9⇒ a ≥ arccosBởi vì2 + 2 10.925 215b + c 10 10 2b+c;∈ −a = b2 + c 2 ≥ ( b + c ) ⇒ . ≤ ⇒4222 a a 2Câu 68: Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (10; 2;1) , B ( 3;1; 4 ) và mặt cầu( S ) :( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1)222= 9 . Điểm M di động trên mặt cầu ( S ) . Hỏi giá trị nhỏnhất của biểu thức MA + 3MB là?A. 3 14 .B. 9 .Hướng dẫn giải:Chọn CMặt cầu ( S ) tâm I (1;2;1) , R = 3 .C. 3 11 .Ta chọn điểm C trên đoạn IA sao cho ∆ICM ∼ ∆IMA theo tỉ sốIC IM MC 1IC IM 2 R 29 1=== ⇒== 2 = 2 =2IMIA MA 3IA IAIA991⇒ IC = IA = (1;0;0 ) ⇒ C ( 2; 2;1) .9Khi đó MA + 3MB = 3 ( MC + MB ) ≥ 3BC = 3 12 + 12 + 32 = 3 11Dấu bằng đạt tại M = BC ∪ ( S ) .176D. 6 3 .1; tức3
Chia Sẻ Link Cập nhật Trong không khí Oxyz phương trình của mặt cầu có tâm I 123 và bán kính R 4 là miễn phí
Bạn vừa tìm hiểu thêm tài liệu Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Clip Trong không khí Oxyz phương trình của mặt cầu có tâm I 123 và bán kính R 4 là tiên tiến và phát triển nhất và Chia Sẻ Link Down Trong không khí Oxyz phương trình của mặt cầu có tâm I 123 và bán kính R 4 là Free.