Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn (-2018;2019)

Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \(\left( { 2019;2019} \right)\) để hàm số

\(y = {\sin ^3}x 3{\cos ^2}x m\sin x 1\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\).

A. \(2020.\)\(\)

B. \(2019.\)

C. \(2028.\)

D. \(2018.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

\(\begin{array}{l}y = {\sin ^3}x 3{\cos ^2}x m\sin x 1\\\,\,\,\, = {\sin ^3}x 3\left( {1 {{\sin }^2}x} \right) m\sin x 1\\\,\,\,\, = {\sin ^3}x + 3{\sin ^2}x m\sin x 4\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x\), với \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\).

Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = {t^3} + 3{t^2} mt 4\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y = 3{t^2} + 6t m\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y \ge 0\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 3{t^2} + 6t m \ge 0\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le 3{t^2} + 6t\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\\ \Rightarrow m \le f\left( t \right) = 3{t^2} + 6t\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + 6t\,\,\)ta có TXĐ:

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { 2019;0} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \) Có 2019 giá trị của m thỏa mãn.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Cực trị của hàm số